微积分甲(I) 23-24学年期末题

1. $lim_{x \to 0} (\cos x)^{\csc^{2} x} =$ ____________________ .

2. 已知 $f (x)$ 可导， $f (2) = 2, f^{'} (2) = 3$ ，设 $y = f (f (f (x)))$ ，则 $\frac{d y}{d x} |_{x = 2} =$ ____________________ .

3. 曲线 $y = x \arctan x$ 在 $x \to - \infty$ 时的渐近线方程为 ____________________ .

4. 设 $y = y (x)$ 由 ${\begin{cases} x = 3 t - \sin t \\ y = e^{t} - \cos t \end{cases}$ 确定，则 $\frac{d y}{d x} |_{t = 0} =$ __________ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{t = 0} =$ __________ .

5. 已知连续函数 $f (x)$ 满足 $\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x = 3$ ，则 $\int_{0}^{1} x (\int_{1}^{x} f (t) d t) d x =$ ____________________ .

6. 设反常积分 $\int_{1}^{+ \infty} (1 - \cos \frac{1}{x^{p}}) d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 ____________________ .

7. 已知函数 $y = y (x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} - \sin 3 x + 6 y = 0$ 确定，则 $d y |_{x = 0} =$ __________ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{x = 0} =$ __________ .

8. 曲线 ${\begin{cases} x = t + \sin t \\ y = 2 + \cos t \end{cases} (0 \leq t \leq 2 π)$ 的弧长是 ____________________ .

9. 计算函数极限 $lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \ln (1 + x^{2}) - \sin x}{x - \sin x}$ .

10. 计算极限 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k (k - 1)}$ .

11. 求不定积分 $\int \frac{3 x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + 2 x + 2)} d x$ .

12. 设 $n$ 为正整数， $n \neq 7$ ，试比较 $(\sqrt{n})^{\sqrt{n + 1}}$ 与 $(\sqrt{n + 1})^{\sqrt{n}}$ 的大小.

13. 设平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \arctan x$ 与直线 $x = 1$ 和 $x$ 轴围成.
(1) 求 $D$ 的面积；
(2) 求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积.

14. 设 $0 < a_{1} < 1, a_{n + 1} = a_{n} (1 - a_{n}), n = 1, 2, 3, \dots$ .
(1) 证明 $a_{n} < \frac{1}{n + 1}, n = 2, 3, 4, \dots$ ;
(2) 证明数列 ${n a_{n}}$ 收敛；
(3) 计算 $lim_{n \to + \infty} n a_{n}$ .

15. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上有二阶导数，且 $f^{″} (x) > 0, f (0) = \int_{0}^{1} f (x) d x = 0$ . 证明：
(1) $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内存在唯一零点 $x_{0}$ ;
(2) 在 (1) 的条件下，当 $x \in (0, x_{0})$ 时， $f (x) < 0$ ;
(3) $\int_{0}^{1} x f (x) d x > 0$ .